Ολοκληρώματα και παράγωγοι: Πρακτική εφαρμογή στην ρομποτική

Τα ολοκληρώματα και οι παράγωγοι στα μαθηματικά είναι ένα κεφάλαιο που μπορεί στην αρχή να μην κατανοούμε γιατί χρειάζεται, αλλά σε αυτό το άρθρο θα δούμε μία από τις πρακτικές εφαρμογές τους. Για τον άνθρωπο, είναι πάρα πολύ σημαντικό το να ξέρει κάθε στιγμή που βρίσκεται, να γνωρίζει δηλαδή τον προσανατολισμό του. Χωρίς τον προσανατολισμό του, δεν έχει ιδέα τι είναι το μπροστά, πίσω, δεξιά, αριστερά, πάνω και κάτω. Έτσι, και σε ένα ρομπότ είναι πολύ σημαντικό, να υπολογίζει με κάποιον τρόπο την θέση και τον προσανατολισμό του. Φυσικά υπάρχει το GPS (Global Positioning System) και οι πυξίδες (compass), ωστόσο ο κόσμος δεν είναι τόσο ιδανικός για να το χρησιμοποιούμε πάντα και παντού (βλέπε σήραγγες). Πως λοιπόν, μπορούν τα ολοκληρώματα και οι παράγωγοι να βοηθήσουν σε αυτό το πρόβλημα;

Τι είναι η Θέση και τι ο Προσανατολισμός στον χώρο

Ας ξεκινήσουμε ορίζοντας τι ακριβώς είναι η θέση και τι ο προσανατολισμός στον χώρο. Ο χώρος στον οποίο ζούμε και για την ακρίβεια ο χώρος τον οποίο βλέπουμε με τα μάτια μας είναι τσισδιάστατος, έχει δηλαδή 3 διαστάσεις, το μήκος, το πλάτος και το ύψος. Εάν λοιπόν, το ύψος μας ήταν 0, ο κόσμος θα είχε δύο διαστάσεις το μήκος και το πλάτος. Στον κόσμο της ρομποτικής οι τρεις αυτές διαστάσεις ορίζονται ως X, Y και Ζ για χάρη της απλότητας.

Ο προσανατολισμός είναι μία νοητή ευθεία γραμμή που ορίζει προς τα που κοιτάμε. Έτσι, όταν αναφερόμαστε στον προσανατολισμό αναφερόμαστε στον Βορρά, τον Νότο, την Δύση και την Ανατολή.

Έχοντας την παραπάνω πληροφορία ξέρουμε οποιοδήποτε αντικείμενο που βρίσκεται (θέση στον χώρο) και προς τα που κοιτάει (προσανατολισμός).

Τι είναι η Θέση και η Ταχύτητα

Η θέση αφορά τα Χ, Υ και Ζ όπως τα αναφέραμε παραπάνω και η ταχύτητα τον ρυθμό μεταβολής της θέσης, δηλαδή πόσο γρήγορα ένα αντικείμενο μεταφέρεται από το σημείο Α στο σημείο Β σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διαστημα dt.

Εάν ένα αντικείμενο κινείται από το σημείο X1 στο X2 τότε η ταχύτητα ορίζεται ως:

{\displaystyle v={\frac {\Delta \ x}{\Delta \ t}}}

όπου Δχ είναι Χ2-Χ1.

Τι είναι το πρακτικά το ολοκλήρωμα

Το ολοκλήρωμα είναι ένα εμβαδόν που υπολογίζεται από όλες τις παρακάτω μπάρες. Αθροίζοντας τα επιμέρους εμβαδά, έχουμε υπολογίσει το ολοκλήρωμα της γραφικής παράστασης όπως αυτό περιγράφεται με την παρακάτω καμπύλη.

Ολοκληρώματα και παράγωγοι στην ρομποτική

Στην ρομποτική, για να μπορούμε να έχουμε την αίσθηση του περιβάλλοντος και να πάρουμε αποφάσεις, χρησιμοποιούμε διάφορους αισθητήρες,όπως το επιταχυνσιόμετρο για να ξέρουμε την επιτάχυνση του σώματος, το GPS για την θέση του σώματος και το ταχύμετρο για την ταχύτητα του. Όταν κάποιο Project είναι σε πειραματικό στάδιο, δεν υπάρχουν τόσα προβλήματα. Όμως στην πραγματικότητα, όταν ένα ρομπότ έρχεται σε επαφή με το περιβάλλον, υπάρχει αρκετός θόρυβος για να κάνει τα συστήματα να μην δουλεύουν. Θόρυβος θεωρείται οτιδήποτε μας επηρεάζει τις μετρήσεις από τους αισθητήρες πχ. η ακτινοβολία του ήλιου, κεραίες, καιρικές συ θήκες κτλ.

Υπάρχουν περιπτώσεις όπου δεν μπορούμε να έχουμε σήμα με το GPS και για να ξέρουμε την θέση πρέπει να βασιστούμε σε διάφορες άλλες μεθόδους, όπως η ολοκλήρωση της ταχύτητας. Ολοκληρώνοντας την ταχύτητα, έχουμε την θέση του ρομπότ. Ο τρόπος αυτός για τον λόγο ότι κατά την ολοκλήρωση χάνουμε κάποιο εμβαδόν, μας προσθέσει αυτό που αποκαλούμε σφάλμα.

Για παράδειγμα, έστω ότι η ταχύτητα του ρομπότ είναι 4m/s. Ολοκληρώνοντας την ταχύτητα παίρνουμε ως αποτέλεσμα ότι βρίσκεται στην θέση 234cm. Κατά ένα πολύ μεγάλο ποσοστό, αυτή η θέση έχει σφάλμα και αυτό σημαίνει πως η πραγματική τιμή είναι 235cm ή 236cm ή ακόμη και 240cm. Αν και υπάρχουν διάφορες μαθηματικές μέθοδοι για να υπολογίσουμε το σφάλμα, δεν μπορούμε να ξέρουμε ποια είναι η πραγματική τιμή. Καταλαβαίνετε πως το σφάλμα είναι κάτι που δεν το θέλουμε και έτσι καταλήγουμε σε διάφορες προσεγγίσεις όπως οι ακόλουθες:

Ολοκληρώματα και Παράγωγοι

Χρήση του τρόπου ολοκληρώματος και παραγώγου για μικρό χρονικό διάστημα, ώστε το σφάλμα να μην προλάβει να μεγαλώσει τόσο, ώστε να δημιουργηθεί πρόβλημα.

Συνδυασμός Αισθητήρων

Χρήση επιπλέον αισθητήρων και απόφαση της τελικής τιμής βάση ενός συνδυασμού τιμών. Δηλαδή, εκτός από την ταχύτητα, μπορεί να χρησιμοποιούμε και έναν άλλο αισθητήρα που να δίνει επιτάχυνση ή κάποιον άλλο αισθητήρα που να μετρά τον χρόνο. Η ιδέα είναι πως αν και θα έχουμε σφάλμα, το σφάλμα από τον ένα αισθητήρα θα ακυρώνει το σφάλμα από τους άλλους αισθητήρες. Μπορεί να ακούγεται κάπως πολύπλοκο, αλλά ο συνδυασμός αισθητήρων είναι και αυτό μια προσέγγιση.

Εδώ μπορείτε να διαβάσετε πως αναλύουμε τις δυνάμεις σε ένα ρομποτικό σύστημα.

Υποβολή απάντησης